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\addtolength{\oddsidemargin}{-39pt} \pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{center}
\textbf{Contr\^{o}le Seconde 6}
\end{center}
\vspace{0.7cm}

Partie I : \\ Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-\dfrac{1}{2} x^2 +9x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.\\
\begin{enumerate}
\item R\'{e}soudre l'\'{e}quation $f(x)=0$.  %J'ai ajout\'{e} cette question pour rencontrer ce type de factorisation
\item V\'{e}rifier que pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a $f(x)=-\dfrac{1}{2}(x-9)^2+\dfrac{81}{2}$
\item En utilisant vos connaissances sur la nature de la fonction $f$, dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$. %Avec cette forme, ils devraient pouvoir justifier que cela d\'{e}pend du signe de a et utiliser le sommet (nous avons travaill\'{e} cela en TD)
\item Quel est le maximum des images de $f$ ? En quel point $x$ est-il atteint ?

 \begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout $x$ r\'{e}el, l'\'{e}quation $f(x)=36$ est \'{e}quivalente \`{a} l'\'{e}quation $(x-9)^{2}=9$.%sachant que beaucoup allaient \^{e}tre coinc\'{e}s sur la factorisation, j'ai pr\'{e}f\'{e}r\'{e} le faire en deux temps, tout d'abord examiner la notion d'\'{e}quivalence, et il n'en reste pas moins qu'ils auront l'identit\'{e} remarquable \`{a} produire.
  \item R\'{e}soudre cette derni\`{e}re \'{e}quation.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.3cm}

Partie II :\\
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. Les points $D$ et $E$ appartiennent
respectivement aux segments $[AC]$ et $[AB]$ et sont tels que $BE=x$ cm et
$AD=x$ cm.
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{triangle.png}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble des valeurs possibles pour $x$ ?%A priori, il n'y a pas encore de fonction. Je n'ai pas bien compris ta remarque, dois-je mettre cette question plus loin ? Je voulais qu'ils me donnent un intervalle de variation pour x, ce qui semble raisonnable au vu de l'\'{e}nonc\'{e}. Tu indiquais Intervalle de d\'{e}finition alors qu'il n'y a pas de fonction \`{a} d\'{e}finir, il s'agit simplement de l'existence d'une variable x !
\item D\'{e}terminer l'aire du triangle $ADE$ en fonction de $x$ et montrer qu'elle est \'{e}gale \`{a} $f(x)$.%POur ne pas qu'ils soient bloqu\'{e}s enti\`{e}rement sur la partie II s'ils n'ont pas le bon calcul,j'ai pr\'{e}f\'{e}r\'{e} donner la solution \`{a} trouver.
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ l'aire du triangle $ADE$ est-elle nulle ?%On retrouve le lien que je force avec le I.1)
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle $ADE$ est-elle maximale ? Quelle est alors la mesure de cette aire ?
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ l'aire du triangle $ADE$ vaut-elle $36 cm^2$ ?
\item Quelle condition $x$ doit-il v\'{e}rifier pour que les droites $(ED)$ et $(BC)$ soient parall\`{e}les ?
\item L'aire du triangle $ADE$ peut-elle \^{e}tre \'{e}gale \`{a} la moiti\'{e} de l'aire du triangle $ABC$ ?
\end{enumerate}
\end{document}
